x, yに誤差があるときにf(x,y)の誤差はどうなるか（近似）
x.hat = x + Δx
y.hat = y + Δy
ただし
x.hat、y.hatはそれぞれx, yの推定値
Δx, Δy それぞれx, yにおける誤差。ただし、誤差分布の平均は0、分散はそれぞれ(e_x)^2, (e_y)^2 とする。
f(x,y)の推定値の分散は
(∂f/∂x)^2 (e_x)^2 + (∂f/∂y)^2 (e_y)^2
証明 （1変数のとき）
Taylor展開で
f(x + Δx) = f(x) + f'(x)Δx + f''(x)/2*(Δx)^2 + ...
↑ f'(x) = df/dx
したがって
f(x + Δx)-f(x) = f'(x) Δx (Δxが小さいとき）……(1)
Vを分散、Eを期待値とすると
V[f(x.hat)]
= V[f(x + Δx)]
= E[(f(x + Δx)-f(x))^2]
= E[(f'(x) Δx)^2] …… (1)より
= E[ f'(x)^2 * (Δx)^2]
= f'(x)^2 * E[(Δx)^2] …… xそのものには誤差がないからf'(x)は定数
= f'(x)^2 * (e_x)^2
例）x = 5 ± 0.5, y = 3 ± 0.2 (mean ± sd) のとき f(x,y) = xyの標準偏差
∂f/∂x = y, ∂f/∂y = x
分散 = (∂f/∂x)^2 (e_x)^2 + (∂f/∂y)^2 (e_y)^2
= y^2 (e_x)^2 + x^2 (e_y)^2
= 3^2 * 0.5^2 + 5^2 * 0.2^2
= 9 * 0.25 + 25 * 0.04
= 3.25
sd = √分散 = 1.8 （答）
